やったような…そうでないような…

さて数学の話です。
相変わらず数字に弱いです。

a₁ = c, a_n+1=(a_n+2)^1/2 (c>=-2の定数, n=1,2,...）

上記を満たす数列{a_n}の極限を求めよ。
っていう問題で悩んでいたりする。
# なんとなく収束はしそうな感じです
# 直感で生きているせいでしょうか、
# 理論的なことにOverFlow気味です（笑）。
# それでも昔は…昔も変わらないか？
んでいろいろ展開してみたが正攻法？ではうまく解けなかった。
自分でも思うんだけどやっぱ数学的センスはないみたいだ（笑）。
かといってそうもいかないので馬鹿野郎なりに強引に考えてみた。

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nが無限大に進めば、収束するなら
a_n+1もa_nも値としては変わらないはず。
つまり極限においては a_n+1=a_n=b だから

b=(b+2)^1/2

つまり

b²-b-2=0

b = 2, -1 と解ける。
a₂ = (c+2)^1/2 >= 0 で、
a_n+1とa_nの関係から
0 <= a_n < a_n+1 (n>=0) であるので
b = 2 となり数列{a_n}は2に収束する

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収束するという仮定の証明してないので、
必要十分でないような…気もするがまぁ…。
んで、Google先生で実際どうなのかなぁと調べてみる。
ルートの無限入れ子クイズ（問題編） (結城浩の日記)
結城さんのとこにそれっぽいのがあった。
というかこの記事みて購入になやんでいた数学ガールも
ワンクリック決定かなぁ…、ちょっと見る分には面白そうだ。
追記
実際にcomputeしてみた結果をグラフにプロットしてみた。
（c=-2,10の場合）



2で収束していることがわかる。